LAPLACIAN TYPE EQUATIONS

This thesis deals with nonlinear elliptic boundary value problems in different setting spaces driven by p-Laplace and (p,q)-Laplace operators, where p and q can be real numbers or real valued functions. This is a really important field of application of variational methods, which are powerful tools not only to study existence of solutions, but also to obtain important informations on the behavior and regularity properties of solutions, like continuity, boundedness and sign (positive, negative or nodal). This kind of aspects are really useful especially since in many cases we are not able to determinate the precise expression of solutions. Many of the partial differential equations in physics and mechanics arise from a variational principle, that is, we have a set of admissible solutions and an opportunely associated energy (or Euler-Lagrange) functional defined on it. We look for minimizers of the energy functional over the set of admissible solutions. These minimizers are solutions to the corresponding partial differential equation.

Questa tesi si occupa di problemi ellittici non lineari in diversi spazi ambiente, con operatori p-Laplaciano e (p, q)-Laplaciano, dove p e q possono essere numeri reali o funzioni a valori reali. Si tratta di un importante campo di applicazione dei metodi variazionali, che sono utili strumenti non solo per studiare l'esistenza di soluzioni, ma anche per ottenere significative informazioni sulle proprietà asintotiche e di regolarità delle stesse soluzioni, come la continuità, la limitatezza e il segno (positivo, negativo o nodale). Questi aspetti sono particolarmente utili in considerazione del fatto che in molti casi non siamo in grado di determinare l'espressione analitica delle soluzioni. Molte delle equazioni alle derivate parziali in fisica e in meccanica derivano da un principio variazionale, cioè abbiamo un insieme di soluzioni ammissibili a cui viene opportunamente associato un funzionale dell'energia (o funzionale di Eulero-Lagrange). Noi ci occupiamo del problema della minimizzazione del funzionale dell'energia lavorando sull'insieme delle soluzioni ammissibili. Le soluzioni di questo problema di minimizzazione sono quindi soluzioni della corrispondente equazione alle derivate parziali.