DEFINIZIONE CATEGORIALE DI OGGETTO MATEMATICO IN DIDATTICA DELLA MATEMATICA

This doctoral thesis explains the constructive path that has allowed to formulate a new theoretical construct: that of mathematical object specific to Mathematics Education. The problem from which the motivation for the research presented in the thesis derives from the need to clarify the link between the mathematical objects of Mathematics as a discipline and the mathematical objects studied and produced in Mathematics Education as a discipline. The ontological question in Mathematics Education is addressed at a general level in the philosophy of Mathematics Education, but usually concerning ethical aspects, such as the social, cultural and political value of Mathematics, and never in reference to epistemological aspects. This last aspect is motivated by the great plurality of approaches and learning theories present in the discipline, among which there is no agreement on a unique epistemological vision. What disappears in the ontological considerations in the philosophy of Mathematics Education is therefore precisely the more strictly mathematical dimension of its objects, which instead characterizes the discipline compared to other didactical disciplines. The link between his objects of study and those corresponding to Mathematics as discipline has not so far received due attention in the research and therefore the problem of a general definition of mathematical object specific to Mathematics Education has never been addressed before. In the thesis first the criteria that such a definition should satisfy are identified, resorting to investigations both from the theoretical and from a more empirical point of view, that is on the base of elements that emerge during the analyses of examples, definitions and approaches. Given the impossibility to frame these criteria in existing conceptual constructs, a theoretical framework in which to insert the required definition is constructed ad hoc, so that it can meet the criteria identified, placing it within the context of the Synthetic philosophy of contemporary mathematics (Zalamea, 2009/2012a), which is thus extended to Mathematics Education. A categorical mathematical model is then constructed to support this theoretical framework, in which a proof of the gnoseological validity of the synthetic approach to objects is also provided. Finally, the required definition is given in a diagrammatic categorical language, which guarantees its generality, also formulating a possible interpretation. The specific mathematical object of Mathematics Education is interpreted both as a set of meaning attributions whose model is a set of prefaces that emerge from the immersion of the category of mathematical practice, “enriched” by the category of results in Mathematics Education, in the category of the practice in Mathematics Education, and as a structural metaphor based on an analogy established between a fragment of category theory and a fragment of Mathematics Education, represented respectively by the two dimensions of the theoretical framework: the one specific of (philosophy) of Mathematics Education and the one based on the mathematical model. In this perspective Mathematics Education emerges as an applied mathematics, in the sense highlighted by D’Amore (2016), which contributes to an extension of mathematical knowledge. From the operational point of view, the mathematical objects specific to Mathematics Education are dynamic hermeneutic models, in which two different interpretative levels can be distinguished: a prasseological one and another related to the epistemology of the discipline. In the last chapter, the SKTR model (Zalamea, to appear), which contains theoretical tools that allow to make the definition operative in a perspective of its possible future applications, is introduced.

La presente tesi di dottorato espone il percorso costruttivo che ha consentito di formulare un nuovo costrutto in didattica della matematica: quello di oggetto matematico specifico della didattica della matematica. La problematica dalla quale nasce la motivazione per la ricerca esposta nella tesi deriva dalla necessità di chiarire il legame tra gli oggetti matematici della matematica come disciplina e gli oggetti matematici studiati e prodotti in didattica della matematica come disciplina. La questione ontologica in didattica della matematica viene affrontata a livello generale nell’ambito della filosofia della didattica della matematica, ma di solito in riferimento ad aspetti di natura etica, come il valore sociale, culturale e politico della formazione matematica, e mai in riferimento agli aspetti epistemologici. Quest’ultimo aspetto è motivato dalla grande pluralità di approcci e teorie dell’apprendimento presenti nella disciplina, tra i quali non vi è un accordo su una visione epistemologica unica. Ciò che scompare nelle considerazioni ontologiche in filosofia della didattica della matematica è quindi proprio la dimensione più strettamente matematica, che invece è caratterizzante per essa rispetto ad altre didattiche disciplinari. Il legame dei suoi oggetti di studio con quelli corrispondenti della matematica non ha finora ricevuto la dovuta attenzione nelle ricerche e dunque nemmeno è stata mai affrontata la problematica di una definizione generale di oggetto matematico specifico della didattica della matematica. Nella tesi vengono individuati prima dei criteri che una tale definizione dovrebbe soddisfare, analizzando il problema sia dal punto di vista teorico, sia dal punto di vista più empirico, cioè sulla base di elementi che emergono da analisi di esempi, definizioni e approcci. Data l’impossibilità di accogliere tali criteri nei costrutti già esistenti esaminati, viene di seguito costruito ad hoc il quadro teorico in cui inserire la definizione cercata, in maniera tale che possa soddisfare i criteri individuati, collocandolo nell’ambito dalla filosofia sintetica della matematica contemporanea (Zalamea, 2009/2012a), la quale viene così estesa alla didattica della matematica. Successivamente viene costruito un modello matematico categoriale in grado di supportare tale quadro teorico, nel quale viene fornita anche una dimostrazione della fondatezza gnoseologica dell’approccio sintetico agli oggetti. Infine viene fornita la definizione cercata in un linguaggio categoriale diagrammatico, che garantisce la sua generalità, formulando anche una sua possibile interpretazione. L’oggetto matematico specifico della didattica della matematica viene interpretato sia come un insieme di attribuzioni di significato il cui modello è dato dall’insieme dei prefasci che emergono dall’immersione della categoria della pratica matematica, “arricchita” dalla categoria dei risultati in didattica della matematica, nella categoria della pratica della didattica della matematica, sia come metafora strutturale basata su un’analogia stabilita tra un frammento della teoria delle categorie e un frammento della didattica della matematica, rappresentati rispettivamente dalle due dimensioni del quadro teorico: quello specifico della (filosofia) della didattica della matematica e quello basato sul modello matematico. In questa prospettiva la didattica della matematica emerge come una matematica applicata, nel senso evidenziato da D’Amore (2016), che contribuisce a un’estensione della conoscenza in matematica. Dal punto di vista operativo, gli oggetti matematici specifici della didattica della matematica sono dei modelli ermeneutici dinamici, nei quali possono essere distinti due diversi livelli interpretativi: uno prasseologico e uno relativo all’epistemologia della disciplina. Nell’ultimo capitolo viene introdotto il modello SKTR (Zalamea, in corso di stampa) che contiene strumenti teorici che consentono di rendere operativa la definizione in una prospettiva di sue possibili future applicazioni.