In the first part, the thesis extends the representation theorems by linear operators in the literature to a wide class of unbounded sesquilinear forms in Hilbert spaces. In the second part, sesquilinear forms induced by one or two sequences of vectors are considered, motivated by the Frame theory. Frames of a Hilbert space are sequences of vectors, which provide reconstruction formulas of every element of the space and then they are used in many engineering contexts. A frame determines a bounded sesquilinear form. In contrast, a generic sequence of vectors determines a possibly unbounded sesquilinear form. In the thesis some representation theorems are then applied to these forms obtaining new operators related to the sequences, which possess remarkable properties (for instance, they can be used to recover reconstruction formulas). A special case study is done about the sequences of integer translates of a function. In the third part, the results previously obtained are applied to some multipliers of sequences, giving conditions for their invertibility and a description of their spectra. Multipliers are important tools in physics, signal processing and acoustics. The final part concerns the Lebegue decomposition of sesquilinear forms, whose aim is to distinguish parts of the forms which have a good or a bad representation.

Nella prima parte, la tesi estende i teoremi di rappresentazioni tramite operatori lineari nella letteratura a una ampia classe di forme sesquilineari illimitate in spazi di Hilbert. Nella seconda parte sono considerate le forme sesquilineari indotte da una o due successioni di vettori, motivate dalla teoria dei frame. I frame di uno spazio di Hilbert sono successioni di vettori che forniscono formule di ricostruzione di ogni elemento dello spazio e sono dunque usate in molti contesti ingegneristici. Un frame determina una forma sesquilineare limitata. Invece, una successione generica determina una forma sesquilineare possibilmente illimitata. Nella tesi alcuni teoremi di rappresentazione sono dunque applicati a tali forme ottenendo nuovi operatori legati alle successioni, che posseggono importanti proprietà (ad esempio, possono essere usati per ricavare formule di ricostruzioni). Un caso speciale di studio è svolto sulle successioni di traslazioni intere di funzioni. Nella terza parte, i risultati precedentemente ottenuti sono applicati ad alcuni moltiplicatori di successioni, dando condizioni per la loro invertibilità e una descrizione dei loro spettri. I moltiplicatori sono importanti strumenti in fisica, analisi di segnali e acustica. La parte finale riguarda la decomposizione di Lebesgue di forme sesquilineari, il cui obiettivo è di distinguere le parti delle forme che hanno una buona o una cattiva rappresentazione.

Rappresentazioni di forme sesquilineari con applicazioni a successioni di vettori in spazi di Hilbert / Corso, Rosario. - (2020 Mar 27).

### Rappresentazioni di forme sesquilineari con applicazioni a successioni di vettori in spazi di Hilbert

#### Abstract

In the first part, the thesis extends the representation theorems by linear operators in the literature to a wide class of unbounded sesquilinear forms in Hilbert spaces. In the second part, sesquilinear forms induced by one or two sequences of vectors are considered, motivated by the Frame theory. Frames of a Hilbert space are sequences of vectors, which provide reconstruction formulas of every element of the space and then they are used in many engineering contexts. A frame determines a bounded sesquilinear form. In contrast, a generic sequence of vectors determines a possibly unbounded sesquilinear form. In the thesis some representation theorems are then applied to these forms obtaining new operators related to the sequences, which possess remarkable properties (for instance, they can be used to recover reconstruction formulas). A special case study is done about the sequences of integer translates of a function. In the third part, the results previously obtained are applied to some multipliers of sequences, giving conditions for their invertibility and a description of their spectra. Multipliers are important tools in physics, signal processing and acoustics. The final part concerns the Lebegue decomposition of sesquilinear forms, whose aim is to distinguish parts of the forms which have a good or a bad representation.
##### Scheda breve Scheda completa Scheda completa (DC)
27-mar-2020
Nella prima parte, la tesi estende i teoremi di rappresentazioni tramite operatori lineari nella letteratura a una ampia classe di forme sesquilineari illimitate in spazi di Hilbert. Nella seconda parte sono considerate le forme sesquilineari indotte da una o due successioni di vettori, motivate dalla teoria dei frame. I frame di uno spazio di Hilbert sono successioni di vettori che forniscono formule di ricostruzione di ogni elemento dello spazio e sono dunque usate in molti contesti ingegneristici. Un frame determina una forma sesquilineare limitata. Invece, una successione generica determina una forma sesquilineare possibilmente illimitata. Nella tesi alcuni teoremi di rappresentazione sono dunque applicati a tali forme ottenendo nuovi operatori legati alle successioni, che posseggono importanti proprietà (ad esempio, possono essere usati per ricavare formule di ricostruzioni). Un caso speciale di studio è svolto sulle successioni di traslazioni intere di funzioni. Nella terza parte, i risultati precedentemente ottenuti sono applicati ad alcuni moltiplicatori di successioni, dando condizioni per la loro invertibilità e una descrizione dei loro spettri. I moltiplicatori sono importanti strumenti in fisica, analisi di segnali e acustica. La parte finale riguarda la decomposizione di Lebesgue di forme sesquilineari, il cui obiettivo è di distinguere le parti delle forme che hanno una buona o una cattiva rappresentazione.
sesquilinear forms, representation theorems, sequences of vectors, frame theory, reconstruction formulas, multipliers, Lebegue decomposition
forme sesquilineari, teoremi di rappresentazioni, successioni di vettori, teoria dei frame, formule di ricostruzioni, moltiplicatori, decomposizione di Lebesgue
Rappresentazioni di forme sesquilineari con applicazioni a successioni di vettori in spazi di Hilbert / Corso, Rosario. - (2020 Mar 27).
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Tipologia: Tesi di dottorato
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Utilizza questo identificativo per citare o creare un link a questo documento: `https://hdl.handle.net/20.500.11769/581798`