Dynamics of Periodic Stratified Shear Flows

In this thesis we study instabilities in stratified shear flows where the density stratification is assumed to be stabilizing. Despite the common idea of buoyancy forces having a restoring effects, in few cases such stratifications proved to be capable of destabilizing otherwise stable fluids. Here we study two different systems and how the density stratification affects the stability of their equilibrium solutions. In the first case we consider the stratified analogue of the Kolmogorov flow which have been widely studied and shows a rich number of states departing from the laminar solution as viscosity is lowered. We conduct finer investigation of the series of transition leading to chaotic states, showing the existence of previously unseen states and proving the chaotic nature of solutions at high Reynolds numbers. Therefore we compare these results to the route to chaos of increasingly stratified fluids and observe that stratification does not affect the bifurcations for Richardson number lower than $10^{-3}$. Whereas new dynamics appear when $Ri=10^{-3}$ or greater. We observe that the stabilizing density gradient increases the critical Reynolds numbers needed to trigger state's transitions, and ``unlocks'' a number of new states inaccessible to the unstratified Kolmogorov flow. The second part of the thesis is devoted to the analysis of instabilities due to waves generated by density defects. We consider multilayered fluids with a background linear shear velocity. Layering is a common structure in natural systems as oceans and lakes. The high density gradient between each layer supports the formation of Interfacial waves. Thanks to the background shear velocity these waves can resonantly interact and become unstable (Taylor-Caulfield Instabilities - TCI). The number of density interfaces in a multi-layered fluid allows a multitude of waves to interact and produce structures that may affect the stability of the system. In this work the main purpose is to investigate the susceptibility of a number of constant density layers separated by equally spaced sharp interfaces to TCI and their subsequent nonlinear evolution. We provide a linear instability analysis for a staircase with piecewise-constant density profile, allowing for an arbitrary number of interfaces. The staircase is embedded in a background linear shear flow. For long wavelength, weakly nonlinear structures in weakly stratified fluid, we study the onset of instability. Fully nonlinear states are studied numerically in the long-wave and weak stratification limit.

In questa tesi studiamo le instabilità in fluidi stratificati laminari dove la stratificazione in densità ha un effetto stabilizzante. Nonostante l idea comune che la forza d Archimede abbia un effetto stabilizzante, in alcune circostanze tale stratificazione ha mostrato di poter indurre instabilità in fluidi altrimenti stabili. Qui studiamo due sistemi differenti e come la stratificazione in densità influenzi la stabilità delle loro soluzioni di equilibrio. Nel primo caso consideriamo l analogo stratificato del flusso di Kolmogorov, il quale è stato ampiamente studiato e mostra la formazione di un ricco numero di stati al diminuire della viscosità del fluido. Conduciamo un raffinamento dell analisi di questa serie di transizioni che portano il sistema a stati caotici, mostrando l esistenza di stati finora non osservati e provando la natura caotica di soluzioni a grandi numeri di Reynolds. Quindi confrontiamo questi risultati con la route to chaos di fluidi via via più stratificati e osserviamo che la stratificazione in densità non influenza le biforcazioni per numeri di Richardson inferiori di $10^{-3}$. Invece nuove dinamiche compaiono quando $Ri=10^{-3}$ o maggiore. Osserviamo che il gradiente di densità stabilizzante aumenta i numeri di Reynolds critici necessari a innescare le transizioni di stato e sblocca nuovi stati che erano inaccessibili per la controparte non stratificata. La seconda parte della tesi riguarda l analisi delle instabilità dovute a onde generate in corrispondenza di difetti nella densità di un fluido. Consideriamo un fluido composto da un numero di strati a differente densità sottoposto a un profilo di velocità laminare. Fluidi multi-stratificati sono strutture comuni in sistemi naturali come oceani e laghi. L elevato gradiente di densità fra ciascuno strato supporta la formazione di onde di interfaccia. Grazie al profilo di velocità laminare, queste onde possono interagire risuonando fra di loro e diventare instabili (Instabilità di Taylor-Caulfield - TCI). Il numero di queste interfacce fra uno strato e l altro permette un gran numero di interazioni fra le suddette onde che possono minare la stabilità di questo particolare sistema. In questo lavoro l obbiettivo principale è quello di studiare la suscettibilità di questo sistema alle TCI e analizzare la successiva evoluzione nonlineare del sistema. Nel limite di grandi lunghezze d onda, strutture debolmente nonlineari in un fluido debolmente stratificato, noi studiamo l innescarsi delle instabilità. Infine stati totalmente nonlineari vengono studiati numericamente nel limite di grandi lunghezze d onda e debole stratificazione di densità.