Shannon extensions of regular local rings. Lefschetz properties for Gorenstein graded algebras associated to Apery Sets.

Let R be a regular local ring of dimension d > 1. Recently, several authors studied the rings obtained as infinite directed union of iterated local quadratic transforms of R. Here, in the first two chapters we present some results about the ideal theoretic structure and GCD property for such rings and we discuss the more general case of local monoidal transform of R. In the third chapter, we study the Weak Lefschetz property of two classes of standard graded Artinian Gorenstein algebras associated in a natural way to the Apery set of numerical semigroups. To this aim we also prove a general result about the transfer of Weak Lefschetz property from an Artinian Gorenstein algebra to its quotients modulo a colon ideal.

Sia R un anello locale regolare di dimensione d > 1. Di recente, vari autori hanno studiato gli anelli ottenuti come unione infinita di trasformazioni locali quadratiche iterate di R. Qui, nei primi due capitoli, sono presentati alcuni risultati riguardanti la struttura ideal-teoretica e la proprietà del massimo comun divisore per questi anelli e viene discusso il caso più generale riguardante le trasformazioni locali monoidali di R. Nel terzo capitolo, viene studiata la proprietà di Lefschetz debole per due classi di algebre graduate Artiniane di Gorenstein associate in modo naturale agli Apery set di semigruppi numerici. A questo scopo, viene provato un risultato generale sul trasferimento della proprietà di Lefschetz debole da un'algebra Artiniana Gorenstein ad un suo quoziente modulo un ideale colon.