Level-Set Ghost Fluid Methods for Free Boundary Problems in Incompressible Euler and Navier-Stokes Equations

The present work is devoted to the study of free boundary problems for Euler and Navier-Stokes equations in primitive variables. The goal of the present work is to elaborate a methodology for numerical modeling of all kinds of incompressible viscous fluids, having in mind possible application to deep water, lava flow simulation and crust formation. Our approach could be essentially divided in three fundamental components: finite difference for spatial approximation, second order accurate method for temporal discretization and level set methods for boundary representation. The domain is discretized by a regular Cartesian grid. The boundary is described by level set methods. In this context the boundary is seen as a zero level set of a specific function. Navier-Stokes equations is solved starting from Semi-Lagrangian methods, achieving second order accuracy in time and space. Resolution of Navier-Stokes equations allows a Poisson problem for pressure as an intermediate step. This is solved by multigrid methods. The velocity and the pressure are computed by solving a single implicit system solved iteratively.

Questo lavoro di tesi è dedicato allo studio di problemi a frontiera libera per le equazioni Eulero e Navier-Stokes nelle variabili primitive. L'obiettivo principale di questa tesi è quello di elaborare una metodologia che permetta di modellizzare diversi tipi di fluidi incomprimibili, con possibili applicazioni al flusso lavico e alla formazione della crosta conseguenza del raffreddamento. Il nostro approccio può essere diviso sostanzialmente in tre componenti fondamentali: differenze finite per l'approssimazione spaziale, metodi accurati al secondo ordine per la discretizzazione temporale e metodi level-set per la rappresentazione dell'interfaccia. Il dominio è discretizzato su una griglia Cartesiana regolare. La frontiera, descritta mediante i metodi level-set, è vista come la curva di livello zero di una data funzione, chiamata funzione level-set. Le equazioni di Eulero e Navier-Stokes sono discretizzate a partire dalla formulazione BDF, ottenendo il secondo ordine di accuratezza sia nello spazio che nel tempo. LA soluzione di queste equazioni prevede come passo intermedio la soluzione di un problema di Poisson per la pressione, risolto con tecniche multigrid. Un originale schema iterativo che calcola simultaneamente velocità e pressione è stato implementato.