Finite-Difference Ghost-Cell Multigrid Methods for Elliptic problems with Mixed Boundary Conditions and Discontinuous Coefficients

The work of this thesis is devoted to the development of an original and general numerical method for solving the elliptic equation in an arbitrary domain (described by a level-set function) with general boundary conditions (Dirichlet, Neumann, Robin, ...) using Cartesian grids. It can be then considered an immersed boundary method, and the scheme we use is based on a finite-difference ghost-cell technique. The entire problem is solved by an effective multigrid solver, whose components have been suitably constructed in order to be applied to the scheme. The method is extended to the more challenging case of discontinuous coefficients, and the multigrid is suitable modified in order to attain the optimal convergence factor of the whole iteration procedure. The development of the multigrid is an important feature of this thesis, since multigrid solvers for discontinuous coefficients maintaining the optimal convergence factor without depending on the jump in the coefficient and on the problem size is recently studied in literature. The method is second order accurate in the solution and its gradient. A convergence proof for the first order scheme is provided, while second order is confirmed by several numerical tests.

Questa tesi presenta lo sviluppo di un originale e generale metodo numerico per la risoluzione di problemi ellittici in domini arbitrari (descritti da una funzione level-set) con condizioni al bordo generali (Dirichlet, Neumann, Robin, ...) su griglie Cartesiane. Tale metodo rientra nella famiglia dei cosiddetti metodi a frontiera immersa, e lo schema numerico usato è un metodo alle differenze finite con l'ausilio di celle ghost. L'intero problema è risolto tramite un approccio multigrid, le cui componenti sono state opportunamente adattate allo schema in questione. Il metodo viene esteso anche al caso più interessante (dal punto di vista applicativo) dei coefficienti discontinui, ed il multigrid viene opportunamente modificato in maniera tale da ottenerere il fattore di convergenza ottimale per l'intero schema iterativo. Lo sviluppo del multigrid è una caratteristica importante, per questa tesi, in quanto i solutori multigrid per coefficienti discontinui in grado di mantenere il fattore di convergenza ottimale indipendentemente dal salto dei coefficienti e dalla dimensione del problema sono un argomento ambito della recente letteratura. Il metodo è al secondo ordine di accuratezza, sia nella soluzione che nel gradiente. Viene fornita anche una dimostrazione di convergenza per lo schema al primo ordine, mentre il secondo ordine è confermato da numerosi test numerici.