Nella realizzazione di componenti e di elementi strutturali è diffuso l’impiego di materiali nei quali, raggiunti particolari stati di sollecitazione, si attivano fenomeni di degrado, quali il deterioramento delle proprietà meccaniche, la dissipazione di energia e l’insorgenza e propagazione di discontinuità all’interno del materiale stesso. Queste ultime si manifestano in corrispondenza delle interfacce fisiche o materiali che esistono in ogni materiale o manufatto, alle varie scale. Il problema della modellazione della nascita e della propagazione di discontinuità in un mezzo continuo può essere affrontato seguendo diversi approcci. Nel lavoro viene presentata una formulazione variazionale del problema di equilibrio di un solido in cui, sotto certe condizioni dello stato tensionale, si presentano discontinuità. La formulazione è basata su un approccio alle discontinuità forti [1], caratterizzato da salti nel campo degli spostamenti. Dopo aver presentato la cinematica arricchita ed aver introdotto i legami costitutivi che descrivono il comportamento dissipativo sulle interfacce, ed eventualmente nel continuo, la forma debole del problema viene particolarizzata nel caso in cui si discretizzi il problema attraverso elementi finiti con discontinuità immerse. L’algoritmo numerico costituisce una generalizzazione di quello proposto da Mosler [2]. Seguendo tale via il problema di equilibrio discreto mantiene il medesimo numero di gradi di libertà come in un approccio tradizionale agli spostamenti in quanto, attraverso una opportuna scelta delle funzioni di forma, consente la valutazione dell’ampiezza del salto in corrispondenza delle interfacce a livello locale (elementare). L’arricchimento è perseguito utilizzando funzioni di forma singolari in corrispondenza della discontinuità. Tali funzioni di forma possono essere scelte in modo tale che il salto che presenta il campo degli spostamenti in corrispondenza della discontinuità sia costante (1 grado di libertà aggiuntivo per elemento) ovvero lineare (2 gradi di libertà aggiuntivi per elemento). Pertanto, le integrande che compaiono nella forma debole delle equazioni di equiibrio e delle equazioni costitutive presentano delle singolarità lungo l’interfaccia, ma risultano continue e regolari all’interno dei sottodomini definiti dall’interfaccia stessa. Da quì la necessità di calcolare gli integrali definiti sull’intero dominio del generico elemento finito come somma degli integrali dei sottodomini individuati dall’interfaccia. Questo comporta una ulteriore mappatura dei sottodomini nei loro corrispondenti elementi genitori. Nell’articolo è mostrata una strategia di integrazione numerica, basata sulla regola di quadratura di Gauss-Legendre [3, 4], che permette di computare i contributi dei singoli sottodomini e di pervenire al calcolo degli elementi della matrice di rigidezza e del relativo vettore delle forze equivalenti dell’elemento finito attraversato dalla discontinuità.
Modeling interfaces by the strong discontinuity approach: variational formulation and FEM implementation
CONTRAFATTO, Loredana Caterina;CUOMO, Massimo;
2011-01-01
Abstract
Nella realizzazione di componenti e di elementi strutturali è diffuso l’impiego di materiali nei quali, raggiunti particolari stati di sollecitazione, si attivano fenomeni di degrado, quali il deterioramento delle proprietà meccaniche, la dissipazione di energia e l’insorgenza e propagazione di discontinuità all’interno del materiale stesso. Queste ultime si manifestano in corrispondenza delle interfacce fisiche o materiali che esistono in ogni materiale o manufatto, alle varie scale. Il problema della modellazione della nascita e della propagazione di discontinuità in un mezzo continuo può essere affrontato seguendo diversi approcci. Nel lavoro viene presentata una formulazione variazionale del problema di equilibrio di un solido in cui, sotto certe condizioni dello stato tensionale, si presentano discontinuità. La formulazione è basata su un approccio alle discontinuità forti [1], caratterizzato da salti nel campo degli spostamenti. Dopo aver presentato la cinematica arricchita ed aver introdotto i legami costitutivi che descrivono il comportamento dissipativo sulle interfacce, ed eventualmente nel continuo, la forma debole del problema viene particolarizzata nel caso in cui si discretizzi il problema attraverso elementi finiti con discontinuità immerse. L’algoritmo numerico costituisce una generalizzazione di quello proposto da Mosler [2]. Seguendo tale via il problema di equilibrio discreto mantiene il medesimo numero di gradi di libertà come in un approccio tradizionale agli spostamenti in quanto, attraverso una opportuna scelta delle funzioni di forma, consente la valutazione dell’ampiezza del salto in corrispondenza delle interfacce a livello locale (elementare). L’arricchimento è perseguito utilizzando funzioni di forma singolari in corrispondenza della discontinuità. Tali funzioni di forma possono essere scelte in modo tale che il salto che presenta il campo degli spostamenti in corrispondenza della discontinuità sia costante (1 grado di libertà aggiuntivo per elemento) ovvero lineare (2 gradi di libertà aggiuntivi per elemento). Pertanto, le integrande che compaiono nella forma debole delle equazioni di equiibrio e delle equazioni costitutive presentano delle singolarità lungo l’interfaccia, ma risultano continue e regolari all’interno dei sottodomini definiti dall’interfaccia stessa. Da quì la necessità di calcolare gli integrali definiti sull’intero dominio del generico elemento finito come somma degli integrali dei sottodomini individuati dall’interfaccia. Questo comporta una ulteriore mappatura dei sottodomini nei loro corrispondenti elementi genitori. Nell’articolo è mostrata una strategia di integrazione numerica, basata sulla regola di quadratura di Gauss-Legendre [3, 4], che permette di computare i contributi dei singoli sottodomini e di pervenire al calcolo degli elementi della matrice di rigidezza e del relativo vettore delle forze equivalenti dell’elemento finito attraversato dalla discontinuità.I documenti in IRIS sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
