Sistemi dinamici accoppiati in presenza di interazioni ad alto ordine

In the past decades, many complex systems, either natural, social, or artificial, have been modeled as networks of coupled dynamical systems, with the links describing interactions among couples of units. However, recent evidence shows that various systems are characterized by many-body, group interactions, that cannot be captured by a network description. In the last few years, a vast literature aimed at understanding how these higher-order interactions influence the global behavior of coupled systems has raised. Among other phenomena, the study of synchronization has received a lot of interest. Yet, most of the research focuses on phase oscillators, with the synchronization of nonlinear chaotic oscillators receiving less consideration. Additionally, these studies are restricted to numerical simulations, or provide an analytical solution for simplified cases only. On the other hand, little attention has been given to the investigation of pattern formation in presence of many-body interactions. Particularly, an extension of Turing's instability theory to the case of higher-order networks is still lacking. The objective of this thesis is to fill the existing gaps in the literature, by developing a general theory for studying the collective behavior of coupled dynamical systems in presence of higher-order interactions. We focus on synchronization of chaotic oscillators and on pattern formation in reaction-diffusion systems. We introduce a new formalism to describe coupled dynamics in a general framework, and we demonstrate that it can be used to describe both phenomena under study, enabling the derivation of the necessary conditions for their onset. The results here presented pave the way to further studies of dynamical systems in presence of many-body interactions.

Negli ultimi decenni, molti sistemi complessi, siano essi naturali, sociali o artificiali, sono stati modellati come reti di sistemi dinamici accoppiati, con i link a descrivere le interazioni tra coppie di unità. Tuttavia, recenti evidenze mostrano che diversi sistemi sono caratterizzati da interazioni a molti corpi, o di gruppo, che non possono essere catturate da una descrizione di rete. Negli ultimi anni si è sviluppata una vasta letteratura volta a comprendere come queste interazioni ad alto ordine influenzino il comportamento globale dei sistemi accoppiati. Tra i vari fenomeni, lo studio della sincronizzazione ha ricevuto molto interesse. Tuttavia, la maggior parte delle ricerche si concentra sugli oscillatori di fase, mentre la sincronizzazione degli oscillatori caotici non lineari riceve meno considerazione. Inoltre, questi studi si limitano a simulazioni numeriche oppure forniscono una soluzione analitica solo per casi semplificati. Al contrario, poca attenzione è stata dedicata allo studio della formazione di pattern in presenza di interazioni a molti corpi. In particolare, manca ancora un'estensione della teoria dell'instabilità di Turing al caso delle reti ad alto ordine. L'obiettivo di questa tesi è quello di colmare le lacune esistenti in letteratura, sviluppando una teoria generale per lo studio del comportamento collettivo di sistemi dinamici accoppiati in presenza di interazioni ad alto ordine. Ci concentriamo sulla sincronizzazione di oscillatori caotici e sulla formazione di pattern in sistemi di reazione-diffusione. Introduciamo un nuovo formalismo per descrivere le dinamiche accoppiate in un quadro generale e dimostriamo che può essere utilizzato per descrivere entrambi i fenomeni in esame, consentendo di ricavare le condizioni necessarie per la loro insorgenza. I risultati presentati aprono la strada a ulteriori studi sui sistemi dinamici in presenza di interazioni a molti corpi.