PROBLEMI ELLITTICI COINVOLGENTI NONLINEARITA' INDEFINITE NEL SEGNO

Let $\Omega$ be a bounded domain in $\R^N$, $N\geq 3$. In this thesis we study two elliptic problem with nonlinearities indefinite in sign. \\ Let $\alpha,\beta:\Omega\rightarrow \R$ be two measurable functions, and let $s\in ]1,2[$, $r\in ]1,s[$. First we deal with the following non autonomous elliptic problem \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} -\Delta u=\alpha(x)u^{s-1}-\mu \beta(x) u^{r-1}, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u\geq 0, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u_{\mid \partial \Omega}=0 \end{array}\right. \end{eqnarray*} where $\mu\in \R$ is a parameter. We will establish, via minimax methods, a multiplicity result under suitable summability conditions on the weight functions $\alpha,\beta$. \\ The second problem studied is the following:\\ Let $s\in ]1,\min\{4,2^*\}[$, where $2^*=2N/(N-2)$, and $r\in ]1,s[$, and let $a,b\in ]0,+\infty[$. We investigate the structure of the set of couples of positive parameters $(\lambda,\mu)$ such that the nonlocal Kirchhoff problem \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle{-\left(a+b\int_\Omega |\nabla u|^2dx\right)\Delta u=\lambda u^{s-1}-\mu u^{r-1}}, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u>0, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u=0, \ \ \ &{\rm on}\ \ \ \partial\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray*} admits at least a weak solution. In particular, we partially extend a previous result, obtained for the case $b=0$, to the nonlocal case $b\neq 0$. \\ Some open questions are also pointed out.

Sia $\Omega$ un dominio limitato in $\R^N$, $N\geq 3$. In questa tesi studiamo due problemi ellittici con nonlinearità indefinita nel segno. Siano $\alpha,\beta:\Omega\to\R$ due funzioni misurabili e siano $s\in]1,2[$, $r\in]1,s[$. Per prima cosa ci occupiamo del seguente problema ellittico non autonomo \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} -\Delta u=\alpha(x)u^{s-1}-\mu \beta(x) u^{r-1}, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u\geq 0, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u_{\mid \partial \Omega}=0 \end{array}\right. \end{eqnarray*} dove $\mu\in\R$ è un parametro. Mediante metodi minimax, stabiliremo un risultato di molteplicità, sotto opportune condizioni di sommabilità sulle funzioni peso $\alpha,\beta$. Il secondo problema studiato è il seguente:\\ Siano $s\in]1,\min\{4,2^*\}[$, dove $2^*:=2N/(N-2)$, $r\in]1,s[$ e $a,b\in]0,+\infty[$. Studiamo la struttura dell'insieme delle coppie di parametri positivi $(\lambda,\mu)$ tali che il problema non locale di Kirchhoff \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle{-\left(a+b\int_\Omega |\nabla u|^2dx\right)\Delta u=\lambda u^{s-1}-\mu u^{r-1}}, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u>0, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u=0, \ \ \ &{\rm su}\ \ \ \partial\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray*} ammette almeno una soluzione debole. In particolare, estendiamo parzialmente un precedente risultato, ottenuto per il caso $b=0$, al caso non locale $b\neq 0$. Infine, vengono riportate alcune questioni aperte riguardanti i due problemi.