Let $\Omega$ be a bounded domain in $\R^N$, $N\geq 3$. In this thesis we study two elliptic problem with nonlinearities indefinite in sign. \\ Let $\alpha,\beta:\Omega\rightarrow \R$ be two measurable functions, and let $s\in ]1,2[$, $r\in ]1,s[$. First we deal with the following non autonomous elliptic problem \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} -\Delta u=\alpha(x)u^{s-1}-\mu \beta(x) u^{r-1}, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u\geq 0, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u_{\mid \partial \Omega}=0 \end{array}\right. \end{eqnarray*} where $\mu\in \R$ is a parameter. We will establish, via minimax methods, a multiplicity result under suitable summability conditions on the weight functions $\alpha,\beta$. \\ The second problem studied is the following:\\ Let $s\in ]1,\min\{4,2^*\}[$, where $2^*=2N/(N-2)$, and $r\in ]1,s[$, and let $a,b\in ]0,+\infty[$. We investigate the structure of the set of couples of positive parameters $(\lambda,\mu)$ such that the nonlocal Kirchhoff problem \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle{-\left(a+b\int_\Omega |\nabla u|^2dx\right)\Delta u=\lambda u^{s-1}-\mu u^{r-1}}, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u&gt;0, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u=0, \ \ \ &amp;{\rm on}\ \ \ \partial\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray*} admits at least a weak solution. In particular, we partially extend a previous result, obtained for the case $b=0$, to the nonlocal case $b\neq 0$. \\ Some open questions are also pointed out.

Sia $\Omega$ un dominio limitato in $\R^N$, $N\geq 3$. In questa tesi studiamo due problemi ellittici con nonlinearità indefinita nel segno. Siano $\alpha,\beta:\Omega\to\R$ due funzioni misurabili e siano $s\in]1,2[$, $r\in]1,s[$. Per prima cosa ci occupiamo del seguente problema ellittico non autonomo \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} -\Delta u=\alpha(x)u^{s-1}-\mu \beta(x) u^{r-1}, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u\geq 0, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u_{\mid \partial \Omega}=0 \end{array}\right. \end{eqnarray*} dove $\mu\in\R$ è un parametro. Mediante metodi minimax, stabiliremo un risultato di molteplicità, sotto opportune condizioni di sommabilità sulle funzioni peso $\alpha,\beta$. Il secondo problema studiato è il seguente:\\ Siano $s\in]1,\min\{4,2^*\}[$, dove $2^*:=2N/(N-2)$, $r\in]1,s[$ e $a,b\in]0,+\infty[$. Studiamo la struttura dell'insieme delle coppie di parametri positivi $(\lambda,\mu)$ tali che il problema non locale di Kirchhoff \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle{-\left(a+b\int_\Omega |\nabla u|^2dx\right)\Delta u=\lambda u^{s-1}-\mu u^{r-1}}, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u&gt;0, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u=0, \ \ \ &amp;{\rm su}\ \ \ \partial\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray*} ammette almeno una soluzione debole. In particolare, estendiamo parzialmente un precedente risultato, ottenuto per il caso $b=0$, al caso non locale $b\neq 0$. Infine, vengono riportate alcune questioni aperte riguardanti i due problemi.

PROBLEMI ELLITTICI COINVOLGENTI NONLINEARITA' INDEFINITE NEL SEGNO / Furnari, Luca. - (2020 Mar 27).

### PROBLEMI ELLITTICI COINVOLGENTI NONLINEARITA' INDEFINITE NEL SEGNO

#### Abstract

Let $\Omega$ be a bounded domain in $\R^N$, $N\geq 3$. In this thesis we study two elliptic problem with nonlinearities indefinite in sign. \\ Let $\alpha,\beta:\Omega\rightarrow \R$ be two measurable functions, and let $s\in ]1,2[$, $r\in ]1,s[$. First we deal with the following non autonomous elliptic problem \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} -\Delta u=\alpha(x)u^{s-1}-\mu \beta(x) u^{r-1}, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u\geq 0, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u_{\mid \partial \Omega}=0 \end{array}\right. \end{eqnarray*} where $\mu\in \R$ is a parameter. We will establish, via minimax methods, a multiplicity result under suitable summability conditions on the weight functions $\alpha,\beta$. \\ The second problem studied is the following:\\ Let $s\in ]1,\min\{4,2^*\}[$, where $2^*=2N/(N-2)$, and $r\in ]1,s[$, and let $a,b\in ]0,+\infty[$. We investigate the structure of the set of couples of positive parameters $(\lambda,\mu)$ such that the nonlocal Kirchhoff problem \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle{-\left(a+b\int_\Omega |\nabla u|^2dx\right)\Delta u=\lambda u^{s-1}-\mu u^{r-1}}, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u>0, \ \ \ &{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u=0, \ \ \ &{\rm on}\ \ \ \partial\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray*} admits at least a weak solution. In particular, we partially extend a previous result, obtained for the case $b=0$, to the nonlocal case $b\neq 0$. \\ Some open questions are also pointed out.
##### Scheda breve Scheda completa Scheda completa (DC)
27-mar-2020
Sia $\Omega$ un dominio limitato in $\R^N$, $N\geq 3$. In questa tesi studiamo due problemi ellittici con nonlinearità indefinita nel segno. Siano $\alpha,\beta:\Omega\to\R$ due funzioni misurabili e siano $s\in]1,2[$, $r\in]1,s[$. Per prima cosa ci occupiamo del seguente problema ellittico non autonomo \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} -\Delta u=\alpha(x)u^{s-1}-\mu \beta(x) u^{r-1}, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u\geq 0, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega\\ u_{\mid \partial \Omega}=0 \end{array}\right. \end{eqnarray*} dove $\mu\in\R$ è un parametro. Mediante metodi minimax, stabiliremo un risultato di molteplicità, sotto opportune condizioni di sommabilità sulle funzioni peso $\alpha,\beta$. Il secondo problema studiato è il seguente:\\ Siano $s\in]1,\min\{4,2^*\}[$, dove $2^*:=2N/(N-2)$, $r\in]1,s[$ e $a,b\in]0,+\infty[$. Studiamo la struttura dell'insieme delle coppie di parametri positivi $(\lambda,\mu)$ tali che il problema non locale di Kirchhoff \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle{-\left(a+b\int_\Omega |\nabla u|^2dx\right)\Delta u=\lambda u^{s-1}-\mu u^{r-1}}, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u&gt;0, \ \ \ &amp;{\rm in}\ \ \ \Omega,\\ u=0, \ \ \ &amp;{\rm su}\ \ \ \partial\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray*} ammette almeno una soluzione debole. In particolare, estendiamo parzialmente un precedente risultato, ottenuto per il caso $b=0$, al caso non locale $b\neq 0$. Infine, vengono riportate alcune questioni aperte riguardanti i due problemi.
sublinear elliptic problems, weight function, nonnegative solutions, positive solutions, minimax method, mountain pass, multiplicity, nonlocal Kirchhoff equation, regularity, variational methods
problemi ellittici sublineari, funzioni peso, soluzioni non negative, soluzioni positive, metodi minimax, passo di montagna, molteplicità, equazione non locale di Kirchhoff, regolarità , metodi variazionali
PROBLEMI ELLITTICI COINVOLGENTI NONLINEARITA' INDEFINITE NEL SEGNO / Furnari, Luca. - (2020 Mar 27).
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Tipologia: Tesi di dottorato
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