Homological invariants of some special varieties

In questa tesi di Dottorato vengono trattati numerosi differenti risultati riguardanti alcuni invarianti homologici (i.e., numeri di Betti graduati, funzione di Hilbert, regolarità) di alcune speciali varietà. In particolare, vengono studiate le varietà ACM di codimensione due in P1×P1×P1 (chiamate varietà di rette), e gli edge ideals dei grafi bicicli. Nello specifico, studiamo la funzione di Hilbert delle varità di Ferrers, un caso particolare di varietà ACM di rette, e descriviamo la risoluzione libera minimale trigraduata dell ideale che definisce una varietà di rette che si originano da una completa intersezione di punti. Inoltre, calcoliamo la regolarità di Castelnuovo-Mumford dell ideale che definisce una griglia di rette e una completa intersezione di rette in P1×P1×P1. Successivamente, studiamo la regolarità di un altra speciale varietà, cioè l edge ideal di un grafo biciclo e le sue potenze. In particolare, calcoliamo la regolarità dell edge ideal di un dumbbell graph e diamo una caratterizzazione combinatorica della regolarità dell edge ideal di un grafo biciclo arbitrario in termini del suo numero di matching indotti. Infine, studiamo la regolarità delle potenze dell edge ideal di alcuni specifici grafi bicicli, cioè i dumbbell graphs con un path avente al più due vertici.

In this PhD thesis, we discuss several different results about some homological invariants (e.g., graded Betti numbers, Hilbert function, regularity) of some special varieties. In particular, we focus on the codimension two ACM varieties in P1×P1×P1 (called varieties of lines), and the edge ideals of bicyclic graphs. We study the Hilbert function of Ferrers varieties of lines, a special case of ACM variety of lines, and we describe the trigraded minimal free resolution of the defining ideal of a variety of lines arising from a complete intersection of points. We also compute the Castelnuovo-Mumford regularity of the defining ideal of grids of lines and complete intersections of lines in P1×P1×P1. Then we study the regularity of another special variety, i.e., the edge ideal of a bicyclic graph and its powers. Specifically, we compute the regularity of the edge ideal of a dumbbell graph, and then we give a combinatorial characterization of the regularity of the edge ideal of an arbitrary bicyclic graph in terms of its induced matching number. Finally we study the regularity of powers of edge ideals of some specific bicyclic graphs, i.e., dumbbell graphs with path having at most two vertices.